Różniczka funkcji i jej zastosowanie do obliczeń przybliżonych
Z pojęciem pochodnej wiąże się pojęcie różniczki. Funkcja posiadająca pochodną (właściwą) w danym zbiorze jest nazywana funkcją różniczkowalną w tym zbiorze, ale czym jest różniczka?
Definicja 1: Różniczka funkcji
Niech \( x_0\in\mathbb{R} \) i funkcja \( f \) ma pochodną właściwą w punkcie \( x_0 \).
Różniczką funkcji \( f \) w punkcje \( x_0 \) nazywamy funkcję \( df_{x_0} \) zmiennej \( h \) określoną wzorem
\( df_{x_0}(h)=f^{\prime}(x_0)\cdot h. \)
Uwaga 1:
Zauważmy, że różniczka funkcji \( f \) w danym punkcje \( x_0 \) jest funkcją liniową postaci \( y=ah \), gdzie \( a=f^{\prime}(x_0) \) jest stałą, a \( h \) jest zmienną.
Uwaga 2:
Jeżeli funkcja \( f \) ma pochodną właściwą w punkcie \( x_0\in \mathbb{R} \), to
lub w innej postaci
Zatem
i stąd
czyli
Przy czym błąd przybliżenia \( f(x_0+h)- f(x_0)-df_{x_0}(h) \), jaki popełniamy, spełnia warunek
\( f^{\prime}(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \)
\( \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-f^{\prime}(x_0)\cdot h}{h}=0. \)
\( f^{\prime}(x_0)\approx\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \)
\( f(x_0+h)\approx f(x_0)+f^{\prime}(x_0)\cdot h, \)
\( f(x_0+h)\approx f(x_0)+df_{x_0}(h). \)
\( \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)- f(x_0)-df_{x_0}(h)}{h}=0, \)
czyli dąży do zera szybciej niż \( h \).
\( f(x_0+h)\approx f(x_0)+f^{\prime}(x_0)\cdot h. \)
Oznaczmy argument \( x_0+h \) przez \( x \). Wtedy \( h=x-x_0 \) i
\( f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime}(x_0)\cdot (x-x_0). \)
Analizując powyższy wzór możemy również zauważyć, że pochodna funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) jest przybliżonym współczynnikiem proporcjonalności zmiany wartości funkcji \( f \) do zmiany argumentu:
\( f(x)-f(x_0)\approx f^{\prime}(x_0)(x-x_0). \)
Przykład 1:
Wyznaczymy różniczki funkcji \( f(x)=3^{x^2} \) w punktach \( x_1=1 \) i \( x_2=4 \). Aby to zrobić obliczmy najpierw \( f^{\prime}(1) \) i \( f^{\prime}(4) \):
Zatem skoro \( df_{x_0}(h)=f^{\prime}(x_0)\cdot h \), to
\( \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=3^{x^2}\ln 3\cdot 2x\\ f^{\prime}(1)&=3^1\ln 3\cdot 2=6\ln 3\\ f^{\prime}(4)&=3^{16}\ln 3\cdot 8=344373768\ln 3\end{aligned} \)
\( \begin{aligned}df_1(h)&=df_{x_1=1}(h)=6\ln 3\cdot h\\ df_4(h)&=df_{x_2=4}(h)=344373768\ln 3\cdot h\end{aligned} \)
Przykład 2:
Za pomocą różniczki określmy przybliżoną wartość liczby \( \sqrt[3]{8,2} \).
Przybliżymy wartość \( \sqrt[3]{8,2} \) za pomocą różniczki funkcji \( f(x)=\sqrt[3]{x} \) w punkcie \( x=8 \), według wzoru \( f(x)\approx f(x_0)+df_{x_0}(x-x_0) \). Dlaczego w punkcie \( x=8 \)? Punkt \( x=8,2 \) jest niewygodny dla obliczenia \( \sqrt[3]{x} \), wiec zastąpimy go leżącym blisko niego na osi rzeczywistej punktem \( x_0=8 \) bardziej wygodnym dla obliczenia \( \sqrt[3]{x_0} \), bo \( \sqrt[3]{8}=2 \).
\( \begin{aligned}&x=8,2\quad\ \text{ - punkt niewygodny}\\ &x_0=8\qquad\text{ - punkt wygodny bliski }x\\ &f(x_0)=\sqrt[3]{8}=2\\ &f^{\prime}(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ &f^{\prime}(8)=\frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}}=\frac{1}{12}\\ &x-x_0=0,2\\ &f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime}(x_0)\cdot (x-x_0)\\ &\sqrt[3]{8,2}\approx 2+\frac{1}{12} \cdot 0,2=\frac{121}{60}\end{aligned} \)
Przykład 3:
Za pomocą różniczki obliczmy w przybliżeniu wartość liczby \( \sqrt[3]{7,7} \).
\( \begin{aligned}&x=7,7\quad\ \text{ - punkt niewygodny}\\ &x_0=8\qquad\text{ - punkt wygodny bliski }x\\ &f(x_0)=\sqrt[3]{8}=2\\ &f^{\prime}(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ &f^{\prime}(8)=\frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}}=\frac{1}{12}\\ &x-x_0=-0,3\\ &f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime}(x_0)\cdot (x-x_0)\\ &\sqrt[3]{7,7}\approx 2+\frac{1}{12} \cdot (-0,3)=\frac{79}{40}\end{aligned} \)